Energia e Momento "Perdidos"

Figure 5.2: Os três primeiros histogramas correspondem às distribuições de energia e momento perdidos no acontecimento e do ângulo polar da direcção do momento perdido, na linha seguinte os dois histogramas representam a energia transportada por fotões de Bremsstrahlung que se assumem ter sido emitidos colinearmente pelos dois feixes. As regiões sombreadas correspondem às previsões do MC e os pontos correspondem aos dados, no segundo nível de selecção. Por fim, mostra-se a distribuição do valor de $\chi ^2$ de um ajuste cinemático feito aos acontecimentos reais assumindo que se perdeu um fotão no tubo de feixe (em função de $(E-\vert\vec{P}\vert)_{mis}$).

No estudo da radiação de estado inicial surgem como quantidades fundamentais a energia e o momento "perdidos" num acontecimento. A emissão de Bremsstrahlung é normalmente colinear e é assim provável que uma parte da energia total seja transportada por fotões ao longo da linha de feixe.

No caso de um fotão ser emitido colinearmente a um dos feixes, a sua energia não é detectada e o momento total do acontecimento não é nulo e aponta na direcção do feixe oposto. A emissão de fotões pelo segundo feixe reduz ainda mais a energia total visível mas compensa parte do momento perdido e, como a colinearidade não é absoluta, distorce a sua direcção.

A emissão de fotões energéticos é suprimida e, na maior parte dos casos, existe um único fotão dominante (como se vê também nos fotões detectados), mesmo o retorno radiativo ao $Z^0$ é normalmente feito por um fotão muito forte acompanhado de fotões fracos emitidos pelo outro feixe. Os casos em que tanto o electrão como o positrão emitem fotões fortes são muito poucos e devem ser perceptíveis pela grande diferença entre a energia perdida ($E_{mis}$) e o momento perdido ( $\vert\vec{P}_{mis}\vert$).

Se cada um dos feixes emitir colinearmente um fotão energético (em sentidos opostos), a energia total perdida no acontecimento é a soma das duas energias mas o momento total perdido é a diferença entre as duas: $\frac{E_{mis}\pm\vert\vec{P}_{mis}\vert}{2}$ dão assim os va-lores das energias transportadas pelo fotão mais energético e pelo fotão emitido na direcção oposta.

A figura 5.2 mostra que existem duas distribuições (tanto na variável $E_{mis}$ como na variável $P_{mis}$) que são misturadas pelos efeitos da resolução finita do detector. O valor de $E_{mis}$ é sub-estimado na simulação e o de $P_{mis}$ é um pouco sobre-estimado. A variável $\frac{E+P}{2}$ apresenta um pico mais bem definido que corresponde ao retorno radiativo despido dos efeitos da emissão de fotões "fracos" pelo feixe oposto; já a variável $\frac{E-P}{2}$ mistura as duas distribuições ao acumular num único pico a radiação "fraca" e os efeitos da resolução finita em todas as variáveis medidas (que também afasta o pico do valor natural: zero).

A comparação da energia e momento total em acontecimentos simulados, ao nível de geração e depois da reconstrução (na figura 5.3) mostra que existe um deslocamento sistemático da energia perdida de cerca de +20 GeV (com uma variância de 20 GeV) enquanto que o momento perdido pode ser deslocado em ambas as direcções num intervalo de $\sigma$= 17 GeV/c. Estes efeitos devem-se principalmente às incertezas associadas à reconstrução do 4-momento dos quarks; enquanto que a medição da energia depositada por um fotão é bastante precisa, a medição das variáveis dos quarks é degradada por não ser feita directamente: as energias e direcções dos jactos dão uma boa indicação do 4-momento inicial do quark, mas acumulam os efeitos de resolução de cada medida e as incertezas na associação.

Figure: Diferença entre a energia e momento totais de acontecimentos $q\bar{q}$ (sem fotões detectados) calculadas ao nível de geração e depois de totalmente simulados e reconstruídos.

Os valores destas variáveis podem ser redefinidos por um ajuste cinemático que imponha a conservação de energia e momento total do acontecimento. O ajuste tem de assumir que uma parte da energia pode ter sido perdida no tubo de feixe, transportada por uma única partícula de massa nula. Nos raros casos em que foram emitidos dois fotões energéticos em sentidos opostos ou em que os valores de $E_{mis}$ and $\vert\vec{P}_{mis}\vert$ são inconsistentes, o ajuste não deve convergir assim, podem separar-se estes casos daqueles em que existe uma grande diferença entre energia e momento mas que pode ser explicada tendo em conta a precisão das várias medidas.

No ajuste [21], os jactos são descritos pelo seu momento e por uma abertura no plano transverso (5.1). A componente paralela, assim como a energia do jacto, são variadas por um factor de escala exponencial enquanto que as componentes transversais variam linearmente (podendo alterar a direcção do jacto). A resolução de cada termo e a energia que se assume não detectada são parametrizadas em função do ângulo polar do jacto.

Os fotões são descritos pela sua energia e direcção ($\cos{\theta}$ e $\phi$) com resoluções que dependem apenas do calorímetro em que foram detectados.

O algoritmo de ajuste baseia-se na minimização de um $\chi ^2$ somado sobre todas as partículas (p) e definido como:

$$\chi^2=\sum_{p=1}^N{\sum_{i=1}^3{\frac{(X_{pi}-x_{0i})^2}{\sigma_{Xi}^2}}}$$ (5.2)

onde $x_{0i}$ é nulo para todas as variáveis excepto para o factor de escala dos jactos ($a_i$) e $\sigma$ é a resolução assumida para cada parâmetro.

O valor de $\chi ^2$ indica quão grande teve de ser a variação nas variáveis medidas para permitir a conservação de E e $\vec{P}$. Uma vez que cada termo é pesado pela resolução de cada medida o valor de $\chi ^2$ deve ser pequeno e dá uma indicação objectiva da qualidade do ajuste para cada acontecimento. Um valor alto de $\chi ^2$ indica que as várias medidas são inconsistentes e, eventualmente, que se perdeu uma partícula energética que não foi considerada no ajuste. Uma vez que foram já rejeitados acontecimentos em que não fosse conservado o momento transverso, um valor alto de $\chi ^2$ indica provavelmente que existe um segundo fotão no tubo de LEP que não foi considerado.

Figure 5.4: Número de fotões isolados, massa invariante do sistema de dois jactos e energia do fotão, para acontecimentos em que o ajuste tem um $\chi ^2<$5. A massa invariante do sistema de dois jactos corresponde apenas a acontecimentos em que não foram detectados fotões e a energia do fotão corresponde a acontecimentos em que foi detectado um único fotão.

Infelizmente, é muito difícil a separação entre os casos em que o ajuste não converge por existir mais um fotão no tubo de feixe e os casos em que houve falhas na reconstrução dos acontecimentos. No último quadro da figura 5.2, pode ver-se que a reconstrução dos jactos favorece um momento total maior do que a energia total produzindo falsos sinais para a existência de um segundo fotão perdido. A possibilidade de recuperação de acontecimentos com um segundo fotão no tubo é, assim, posta de lado.

O terceiro nível de selecção corresponderá ao requesito de que $\chi ^2$ seja inferior a 5 e os acontecimentos que não respeitem esta condição não serão considerados nos estudos seguintes. No entanto, o exame simultâneo das figuras 5.1 e 5.4 parece sugerir que uma grande parte dos acontecimentos com $\chi^2>5$ correspondem, de facto, a acontecimentos com um segundo fotão no tubo de feixe. O excesso visível na distribuição de energia do fotão detectado desaparece com o corte em $\chi ^2$, a região em que estava concentrado corresponde a massas invariantes do sistema de dois jactos que necessitariam de energias perdidas mais elevadas - o desaparecimento da discrepância entre os dados reais e a simulação neste caso pode indicar a e-xistência de problemas na descição da emissão múltipla de fotões de Bremsstrahlung.