KoralZ - o Método YFS

KoralZ [8,1] foi concebido para o estudo dos processos $e^+e^- \rightarrow Z^0/\gamma^* \rightarrow f\bar{f}$. Este gerador aparece com base na ideia que a emissão múltipla de fotões muito pouco energéticos muda drásticamente a secção eficaz calculada perto da ressonância Z$^0$ - é, assim, de todos os geradores, aquele no qual é descrito de forma mais rigorosa o efeito de Bremsstrahlung dos feixes iniciais.

O problema da divergência infra-vermelha é tratado de acordo com o método de Yennie-Frautschi-Suura [9] - a exponenciação exclusiva: a separação das divergências provenientes da emissão de fotões reais e virtuais num factor exponencial multiplicativo, que não depende dos detalhes da interacção primária, e é tratado a todas as ordem da teoria de perturbações de forma a que as divergências são canceladas. A expansão perturbativa que resta para cada interacção primária é liberta de todas as divergências.

É feita uma factorização entre as contribuições de Bremsstrahlung e dos fotões virtuais e a interacção primária, no limite dos fotões fracos: no caso em que a amplitude da interacção primária pode ser considerada independente da redução de momento das partículas iniciais por emissão de fotões.

A linha fermiónica é substituida pelo produto da linha fermiónica inicial por $e_f\frac{\epsilon p}{kp}$, onde $e_f$ é a carga do fermião em unidades de carga do electrão, $p$ é o momento do fermião e $k$ e $\epsilon$ são, respectivamente, o momento e a polarização do fotão. Esta substituição é feita sucessivamente para cada fotão emitido e para qualquer número de fotões emitidos, sendo somados os fotões emitidos por um mesmo fermião. Em todos os casos é ainda necessário transformar a expressão do espaço de fases para a tornar apropriada a um novo número de partículas.

A expressão final para $N$ fotões é:

$$\frac{1}{N!} \prod_{i=1}^{N}[\frac{d^3 k_i}{k_i^0} (-\frac{... ...ac{\epsilon_i p_+}{k_i p_+}-\frac{\epsilon_i p_-}{k_i p_-})^2]$$ (3.6)

E a soma de (3.6) para um número arbitrário de fotões dá origem a uma expressão exacta para a emissão de Bremsstrahlung à ordem O( $\alpha^{\infty}$), na forma de um expoente:

$$\exp{\int{\frac{d^3k}{k^0} [-\frac{\alpha}{4\pi^2}(\frac{p_+}{k\cdot p_+}-\frac{p_-}{k\cdot p_-})^2]}}$$ (3.7)

O mesmo procedimento é aplicado às correcções virtuais. A divergência infra-vermelha originada pelas correcções virtuais é infinita-negativa enquanto que a originada pelas correcções reais é infinita-positiva; para cada N, a soma dos dois efeitos cancela as divergências e o resultado é um valor que é finito no limite infra-vermelho.

A emissão de fotões fracos (reais ou virtuais) não altera nenhum observável e pode, portanto, ser isolado do elemento de matriz da interacção primária. No caso de os fotões serem energéticos, este raciocínio não se aplica e é portanto necessário definir um valor limite para a energia do fotão que distinga as duas situações. A soma dos efeitos da emissão real em (3.7) e da emissão virtual têm de ser separada numa parte forte e uma parte fraca, de acordo com este valor de corte, que é definido a $k^0=\frac{2\epsilon}{\sqrt{s}}$. $\epsilon$ deve ser escolhido como muito menor que o limite para a detecção de fotões e, para as aplicações de LEP2, é normalmente um valor na ordem de KeV.

O expoente que descreve as contribuições de fotões reais e virtuais fracos ( $k^0 < \frac{2\epsilon}{\sqrt{s}}$) é conhecido como o factor de forma de Yennie-Frautschi-Suura (YFS) (3.8).

$$\exp { \large [ \frac{i\alpha}{4\pi^2}\int{\frac{d^4 k}{k^2 -m_{\gamma}^2} (\frac{2p_- - k}{k^2-2p_-\cdot k}+\frac{2p_+ - k}{k^2-2p_+\cdot k})^2} }$$

$$+ \int{\frac{d^3 k}{k^0} (-\frac{\alpha}{4\pi^2} (\frac{p_+}{k\cdot... ...\frac{p_-}{k\cdot p_-})^2 (1-\Theta(k^0 -\frac{2\epsilon}{\sqrt{s}}))\large ] }$$

$$= \exp{ ( 2\frac{\alpha}{\pi} (\frac{1}{2}\ln{\frac{s}{m_e^2}}-1+\frac{\pi^2}{3}+ [\ln{\frac{s}{m_e^2}]\ln{\epsilon}) ) }}$$ (3.8)

Os termos excluídos de (3.8), ( $k^0 > \frac{2\epsilon}{\sqrt{s}}$), correspondem à emissão de fotões fortes e não podem ser factorizados, os elementos de matriz têm de ser alterados de acordo com a redução de momento dos fermiões - esta contribuição tem de ser calculada a uma determinada ordem em teoria de perturbações ou na aproximação dos logaritmos dominantes.

Tanto o factor de forma de YFS como as características da emissão de fotões fortes dependem explicitamente do valor de corte, $k_0$, mas (por construção) o cálculo total é independente deste valor arbitrário e explicitamente não divergente.

Figure 3.2: Evolução do expoente de YFS e do número médio de fotões com a variação de $k_{min}$.

A secção eficaz total será então o produto do factor de forma de YFS pela soma das secções eficazes calculadas para 0, 1, ..., $N$ fotões energéticos. No KoralZ, os elementos de matriz incluem a primeira ordem completa e são complementados por uma expansão em logaritmos dominantes a O($\alpha^3$). Este limite de precisão não implica nenhuma limitação no número de fotões que podem ser descritos, mas indica que a secção eficaz só é exacta para um número máximo de três fotões em emissão colinear.

O número de fotões a gerar em cada acontecimento é escolhido de acordo com uma distribuição de Poisson com valor médio de

$$2\frac{\alpha}{\pi}\ln{\frac{s}{m_e^2}}\ln{\frac{k_{max}}{k_{min}}}.$$ (3.9)

sendo incluído um fotão extra que transporta a energia residual. $k_{max}$ é definido a cada iteração e é limitado pela energia de centro de massa inicial. Na figura 3.3, encontra-se representada a evolução simultânea do expoente de YFS e do número correspondente de fotões fortes com a variação de $k_{min}$ (o valor de $k_{max}$ foi fixado a 183 GeV).

Os elementos de matriz incluídos para a geração de fotões energéticos são:

$\beta^0$ para a terceira ordem na expansão em logaritmos dominantes de $e^+e^- \rightarrow q\bar{q}$ (incluindo até três fotões virtuais)

$\beta^1$ para a terceira ordem na expansão em logaritmos dominantes de $e^+e^- \rightarrow q\bar{q}\gamma$ (incluindo até dois fotões virtuais)

$\beta^2$ para a terceira ordem na expansão em logaritmos dominantes de $e^+e^-\rightarrow q\bar{q}\gamma\gamma$ (e no máximo um fotão virtual)

$\beta^3$ para a terceira ordem na expansão em logaritmos dominantes de $e^+e^-\rightarrow q\bar{q}\gamma\gamma\gamma$ (sem mais correcções)

De acordo com o número de fotões determinado utiliza-se um destes elementos de matriz. O facto de o cálculo ser efectuado na terceira ordem da aproximação dos logaritmos dominantes significa, para $\beta^1$, que apenas o termo de primeira ordem é absolutamente correcto, mas os termos de segunda e terceira ordem são escritos na aproximação colinear (dos termos logarítmicos dominantes). Esta aproximação colinear consiste, na prática, na convolução da função de Altarelli-Parisi consigo própria.

Os problemas surgem apenas quando se tenta descrever acontecimentos com dois ou mais fotões fortes acolineares ou mais do que três fotões fortes e colineares. Estes fotões extra são introduzidos como factores correctivos de $-\frac{\alpha}{4\pi^2}(\frac{p_-}{kp_-}-\frac{p_+}{kp_+})^2$, multiplicados pela expressão do elemento de matriz calculada a O($\alpha^2$) de forma a que a ordem a que é feito o cálculo se mantenha constante, os momentos dos fermiões são alterados de forma a que se consigam descrever $N+1$ partículas no espaço de fases de $N$ partículas considerado ao nível de Born ( o momento dos restantes fotões não pode ser alterado de forma a que se mantenha o cancelamento entre divergências).

Para além do esquema utilizado na introdução da radiação múltipla não colinear, existem outras aproximações que fazem com o que o cálculo não se possa considerar exacto. A exponenciação das emissões do estado inicial e final é feita separadamente, não se tendo em conta a interferência entre estados finais indistinguíveis; a produção de pares não é considerada e a soma sobre os estados de polarização dos fotões é feita separadamente para os elementos de matriz e as funções de Altarelli-Parisi , em vez de se utilizar uma matriz de densidade de $spin$. O método de YFS permite, no entanto, uma descrição analiticamente correcta da emissão de fotões fracos e da maior parte da emissão forte, de forma que todos os acontecimentos são totalmente simulados com elementos de matriz bastante precisos para os processos $e^+e^- \rightarrow$ $Z^{0}$/$\gamma~$ $\rightarrow f\bar{f} (n\gamma)$.

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