Pythia - o Método da Cascata Partónica

O gerador Pythia [7] é um programa de índole geral de uso corrente em DELPHI. Os cálculos partem da interacção primária a gerar, e as correcções de ISR e FSR são depois acrescentadas utilizando o formalismo da cascata partónica. A ideia subjacente à função de estrutura serve também de base a este formalismo, no entanto aqui, a função não é apenas um factor analítico mas também uma forma de gerar uma "cascata" de fotões virtuais e reais.

O primeiro passo em cada geração é a escolha da energia efectiva a que se dá a colisão. Esta energia é limitada pela energia de centro de massa nominal, mas pode tomar um valor mais baixo de acordo com probabilidades previstas pelas distribuições partónicas evolutivas, que contêm a soma inclusiva de todas as "histórias" possíveis para as cascatas decorrentes do estado inicial (como no método da função de estrutura).

Os fotões que acompanham os quarks no estado final são depois adicionadas numa estrutura em cascata. É assumido que em cada instante qualquer uma das partículas pode dar origem a uma cascata de partículas virtuais, numa estrutura em árvore: $l \rightarrow l\gamma$, $q \rightarrow q\gamma$, $q \rightarrow qg$, $g \rightarrow gg$, $g \rightarrow q\bar{q}$ (a conversão de fotões em pares de fermiões não foi implementada). O sabor e o 4-momento conservam-se em cada vértice e as divergências típicas do Bremsstrahlung são controladas pela imposição de limites ao espaço de fases.

Para que seja possível a existência de momentos transversos relativos entre dois partões "filhos" de uma mesma partícula, sem pôr em causa a conservação de energia e momento linear, é assumido que pelo menos um destes partões está fora da sua camada de massa. Os partões podem unir-se ao fim de certo tempo (sendo que os mais virtuais sobrevivem menos tempo) mas se (ou quando) um deles intervém na interacção primária os outros não conseguem unir-se dando origem a partículas reais no estado final.

A probabilidade de ocorrer uma ramificação da QED é dada por uma equação de evolução semelhante à de Altarelli-Parisi (chamada Equação de Lipatov no quadro da Electrodinâmica Quântica). Esta equação depende de duas variáveis, a escala de massa $Q^2$ e a fracção de momento de cada partícula $z$; o ângulo azimutal é distribuido istropicamente e constrangido pelos valores das duas variáveis.

$$dP_A = [\sum_{B,C} \frac{\alpha_{em}}{2\pi} P_{A \rightarrow B,C}(z) dt dz]$$ (3.3)

onde $P_{f \rightarrow f\gamma} = e^2_f \frac{1+z^2}{1-z^2}$ e $dt = \frac{dQ^2}{Q^2}$, para a cascata electromagnética.

A variável $t$ pode ser vista como uma variável temporal para a evolução da cascata. $Q^2$ varia entre $0$ e $4Q^2_{prim}$, de forma a que o momento transverso da cascata seja menor que o momento transverso total na interacção primária.

A probabilidade de que um dado partão ainda não tenha ramificado num instante $t > t_0$ é dada pelo factor de forma de Sudakov (3.4).

$$S_a (t) = \exp({{-\int_{t_0}^{t}dt'\sum_{B,C} \int_{z_-(t)}^{z_+(t)}dz \frac{\alpha_{em}}{2\pi} P_{A \rightarrow B,C}(z)}})$$ (3.4)

E a probabilidade de que essa ramificação se dê num instante $t$ é:

$$S_a(t). \sum_{B,C}\int_{z_-(t)}^{z_+(t)}dz \frac{\alpha_{em}}{2\pi} P_{A \rightarrow B,C}(z)$$ (3.5)

de forma que a probabilidade total é conservada.

A equação 3.5 pode ser resolvida por iteração. A enésima emissão de um fotão corresponde a enésima iteração e o processo iterativo transforma-se num algoritmo para a produção da cascata de fotões.

O ISR é gerado do fim para o princípio - da interacção primária de volta aos feixes iniciais - pela escolha de uma das histórias individuais que correspondem ao valor concreto da energia efectiva de colisão. O FSR é gerado pelo mesmo método, mas começando na criação do par de quarks e terminando antes do início da hadronização da QCD.

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