CompHEP - o Método da Função de Estrutura

O gerador CompHEP [4] é um programa com base analítica que funciona em conjunto com um integrador de Monte Carlo [5].

A parte simbólica de CompHEP gera todos os diagramas de Feynman ao nível árvore para um dado processo ( $e^+e^- \rightarrow q\bar{q}$, $e^+e^- \rightarrow q\bar{q}\gamma$, etc.) e calcula as expressões analíticas que correspondem ao quadrado dos diagramas. Estes quadrados de elementos de matriz são depois escritos em código Fortran optimizado, que é utilizado nos cálculos numéricos.

Para que os cálculos numéricos possam ser realizados eficazmente, é necessário fornecer ao integrador um conjunto de regularizações e limites de integração. Os elementos de matriz têm fortes singularidades que podem ser picos muito estreitos (o pólo do Z$^0$, por exemplo), que podem ser ignorados pela parametrização MC do espaço de fases, ou contribuições de diferentes diagramas que se cancelam (como na divergência infra-vermelha), que podem não ser calculados com a precisão devida. Em qualquer caso, a integração não pode ser feita directamente e a regularização é feita por uma mudança de variáveis de integração. Para gerar acontecimentos do tipo $q\bar{q}\gamma$ é ainda necessária a definição de limites de integração que evitem as divergências infra-vermelha e colinear.

A grande vantagem do CompHEP é a possibilidade de escolha de um diagrama de Feynman específico para o estudo das suas características próprias. Foi usado na análise de cada diagrama de ordem $\alpha^0$ e no estudo da interferência entre os vários processos - nomeadamente na separação entre as trocas de Z$^0$ e $\gamma$ e da interferência entre as duas, e na comparação da emissão de fotões pelo estado final e inicial com e sem interferência ISR/FSR.

A principal desvantagem é o facto de não ser possivel obter a descrição completa do Bremsstrahlung usando o CompHEP; para isso seria necessário introduzir um número infinito de diagramas de Feynman ao nível árvore. A geração de acontecimentos $q\bar{q}\gamma$ e $q\bar{q}\gamma\gamma$ ajuda a compreender a importância de cada termo e as distribuições diferenciais de cada observável, mas a secção eficaz obtida deste modo está errada, uma vez que a maior parte das correcções de QED não é considerada.

Para introduzir a radiação múltipla e as correcções devidas a fotões fracos e coli-neares, o programa fornece uma descrição do electrão e positrão iniciais com uma "função de estrutura", que utiliza a equação de Kuraev-Fadin (3.1) [6,1].

$$F(x) = \exp(\beta.(\frac{3}{4} - C)) \times \frac{\beta.(1-x)^{\beta-1}}{\Gamma(1+\beta)}$$

$$- (1+x)\frac{\beta}{2}$$

$$- (2(1+x)\ln(1-x)+\frac{2\ln(x)}{1-x}-\frac{3(1-x)\ln(x)-5-x}{2}) \times \frac{\beta^2}{4}$$ (3.1)

onde $x$ é a fracção de momento que resta do electrão, $\beta=\frac{\alpha}{\pi}(2.\ln\frac{\sqrt{s}}{m_e}-1)$ e C é a constante de Euler.

O método da função de estrutura surgiu na QCD para descrever a estrutura partónica dos hadrões. Foi adaptada para descrever as correcções da radiação de travagem da QED uma vez que estas apresentam o mesmo tipo de divergências. O método baseia-se no contrôlo das divergências infra-vermelhas e dos grandes termos logarítmicos pelas equações do grupo de renormalização.

Os fermiões carregados são vistos como combinação de um fermião com um número arbitrário de fotões indetectáveis que transportam uma parte da sua energia. Quando se mede a secção eficaz total para uma dada interacção entre um electrão e um positrão, esta será uma soma de todas as possibilidades de que cada um dos fermiões primeiro perca uma parte da sua energia e depois interaja. Este é o teorema da factorização de massa.

$$\sigma(\sqrt{s}) = P(\sqrt{s} \rightarrow \sqrt{s'}) \otimes \sigma(\sqrt{s'})$$ (3.2)

As funções de estrutura contêm as probabilidades de que o electrão se "decomponha" em electrão e fotões, reduzindo assim a energia efectiva do electrão. Esta probabilidade depende da escala de energia a que o electrão se encontra ($Q^2$). As divergências do Bremsstrahlung de QED e as contribuições dos termos logarítmicos - $L=\ln{\frac{Q^2}{m_e^2}}$, originados pela emissão de fotões muito pouco energéticos ou coli-neares, ficarão isoladas nas funções de estrutura.

A função de estrutura é calculada na aproximação de logaritmos dominantes, mas os termos dominantes de todas as ordens são somados, isto é, a função descreve um número arbitrário de fotões. A integração é feita sobre todo o espaço de fases mas, uma vez que só os logaritmos dominantes são considerados, só a emissão colinear é descrita.

A convolução com esta função corresponde à redução do momento das partículas iniciais (de acordo com a equação 3.1) e tudo se passa como se a energia de colisão tivesse sido reduzida pela emissão de fotões indetectáveis. A secção eficaz da interacção primária é então calculada na aproximação de Born para as novas partículas iniciais e é independente da escala $Q^2$; só as funções de estrutura manterão uma pequena (normalmente desprezável) dependência da escala de factorização.

Se, no CompHEP, forem, ao mesmo tempo, gerados fotões independentemente da função de estrutura, haverá uma pequena sobre-estimação da secção eficaz, mas o principal efeito será a alteração das características deste fotão, que não será um fotão de ISR natural, uma vez que o espaço de fases disponível para a sua emissão foi antes reduzido pela aplicação da função de estrutura e corresponderá mais a um "segundo" fotão, menos energético.

Para um estudo completo do Bremsstrahlung, é necessário considerar, por um lado, os diagramas em 3.1b) gerados sem utilizar a função de estrutura (para conhecimento do espectro dos fotões detectáveis) e os diagramas em 3.1a) com a descrição da função de estrutura das partículas iniciais (para obter o valor correcto da secção eficaz de $q\bar{q}(\gamma)$ e os espectros dos quarks).

Figure: Diagramas de Feynman para descrever o processo $q\bar{q}(\gamma)$ no CompHEP.

a)

=1.0pt 0.7 1.0

b)

=1.0pt 0.7 1.0