8ª Série de Problemas

 Problema 1       Efeito Döppler

Um submarino da GNR-BTN (Brigada de Trânsito Naval) estava a patrulhar ao largo da Madeira a 100 m de profundidade, quando detectou um submarino nuclear estrangeiro em excesso de velocidade. Suponha que o sonar do submarino português emitiu um sinal sonoro com uma frequência de 2000 Hz, e recebeu o sinal reflectido com frequência de 2010 Hz 3s depois. A velocidade do som na água a 20 graus C é de 1498 m/s.

a)	A que velocidade estonteante ia o submarino nuclear ? (1 nó = 1 milha marítima por hora, 1 milha marítima =~1800 m)
b)	A que distância se encontrava ?
c)	Refaça as alíneas anteriores, admitindo que há corrente (marítima) com velocidade (da água) de 1 nó, no sentido do submarino português para o submarino nuclear.

 Problema 2       Difracção

Se numa parede a largura de uma janela, aberta, for de aproximadamente 1 m (velocidade do som no ar em condições PTN é 344m/s),

a)	quais as frequências que se conseguem ouvir melhor por alguém que esteja quase encostado à parede, a 2 m da janela (do centro da janela)? (Sug.: Serão as frequências para as quais o ângulo de abertura do primeiro máximo seja igual a 90o)
b)	quais as frequências que se ouvem pior por alguém que esteja a 2 m da janela (por ex., virado para a parede em frente ao sujeito da alínea anterior), e a 3.4 m da parede (medidos perpendicularmente à parede) ?

 Problema 3       Velocidade de grupo

Um grupo de ondas com frequências próximas forma uma onda complexa, como por exemplo uma onda de batimento pela adição de duas ondas harmônicas. Define-se velocidade de grupo como sendo a velocidade de propagação da onda envolvente ou de batimento, sendo também chamada de pulso a parte da onda em que a amplitude é significativamente diferente de zero, e largura do pulso ao tempo de duração dessa parte. Frequência do pulso corresponde á à frequência dominante (valor médio das frequências das ondas adicionadas se tiverem todas a mesma amplitude).

A velocidade de grupo de um grupo de ondas (pulso) é definida por u = dw/dk, em que w é a frequência angular (2f) e k é o número de onda (2/), por comparação com a velocidade de fase (v=w/k, também chamada velocidade de propagação das ondas).

Se n for o índice de refracção de um meio (n=c/v=c/(w/k)=ck/w, em que c é a velocidade da luz no vácuo), mostre que se num meio dispersivo em que a variação de n com a frequência angular w seja dada por dn/dw, a velocidade de grupo é dada por:

Um pulsar é uma estrela que emite pulsos de ondas electromagnéticas com variadas frequências, definidas com muita precisão. Estes pulsos viajam até à Terra directamente através do meio interstrelar. Observações radiotelescópicas de uma estrela pulsar mostram que o tempo de chegada de um pulso particular com frequência igual a 400 MHz é 700 ms depois de outro pulso com frequência igual a 1400 MHz. O índice de refracção do meio interstrelar é dado por:

n=(1-Ne²/ (₀mw²)) ^1/2 =~ 1-Ne²/(2₀mw²)

a)	Determine o tempo que uma onda leva a chegar da estrela até nós, em função da distância D (Terra-Estrela) e da frequência angular da onda.
b)	Determine o intervalo de tempo entre dois pulsos em função da distância D e das frequências angulares de ambos os pulsos.
c)	Determine a distância da Terra à Estrela (1 ano-luz=9.5 x 1015 m).

 Problema 4       Efeito Döppler

Ecografia é um exame médico usando ondas sonoras, para obter informação sobre o estado do feto no útero materno. Os ecógrafos com efeito Döppler, permitem obter informações complementares, em particular sobre as velocidades de circulação do sangue nas artérias e no coração. A frequência da onda (ultra)sonora emitida pelos ecógrafos abdominais é da ordem de 3 MHz. A velocidade do som no meio materno é aproximadamente 1700 m/s.

Suponha que está a ser examinada uma certa artéria (num ponto O).
Quando a sonda está numa certa posição (P1) detecta para a frequência da onda reflectida o valor de 3001.222 KHz. Quando está numa posição P2, tal que a direcção OP2 faça um ângulo de 90 graus com a direcção OP1, e ambas as direcções no mesmo plano da artéria, detecta para a frequência da onda reflectida o valor de 2999.294 KHz. Determine

a)	a velocidade de circulação do sangue nessa artéria
b)	a direcção da artéria e o sentido de circulação do sangue. Sugestão: O sangue recebe uma onda com uma frequência, alterada, que reflecte, sendo esta frequência, alterada uma segunda vez, a da onda recebida pela sonda. Quando o sangue recebe, funciona como observador, quando emite funciona como fonte.

Efeito Döppler:

Quando um observador se aproxima em relação a uma fonte, a frequência por ele detectada é f´=f (v - V cos A) / v, em que v é a velocidade do som no meio, V é a velocidade do observador, e A é o ângulo entre a direcção de movimento do observador e a direcção de propagação da onda (isto é, a direcção da linha que une o observador e a fonte, A > 90^o se se aproxima). Por outro lado quando uma fonte se aproxima de um observador, a nova frequência detectada é f´ = f v/(v+V cos A), em que v,V têm os mesmos significados do caso anterior, e A é o ângulo entre a direcção de movimento da fonte e a direcção da linha que une a fonte e o observador (A > 90^o se a fonte se aproxima).