Instituto Superior Técnico
Electromagnetismo e Óptica
1º semestre 2012/2013
Ficha 1

Print[Style[ "\nResultados\nExecicio1",22,Bold]]
Graphics3D[{Black,Thickness[0.03],Line[{{0,0,-2*lado},{0,0,2*lado} }],
Green,Opacity[.3],Cuboid[{-lado,-lado,-lado},{lado,lado,lado}]}]
Print["Queremos calcular o fluxo do campo electrico numa das faces laterais do cubo, podemos fazer de duas maneiras, podemos utilizar a lei de Gaus, ou podemos calcular esplicitamente (OverVector[E]).(OverVector[n])\n"]

Resolução mais simples:
utilizando a lei de Gauss, temos uma carga interior (Subscript[q, interior])=λ*L (lado L do cudo)    o cubo é uma superficie fechada, pelo que o fluxo total é (pela lei de G.):
(∫_(Subscript[S, cubo]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S = ((Subscript[q, interior])/ϵ)=((λ*L)/ϵ)


O campo eléctrico criado por um fio é radial (ver figura abaixo), logo não há fluxo de campo nas faces superior e inferior, assim apenas temos fluxo nas faces lateraisComo o fio está no centro do cubo, então as quatro faces são equivalentes logo:
(∫_(Subscript[S, cubo]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S = (∫_(Subscript[S1, face1]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S1 +(∫_(Subscript[S2, face2]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S2 +(∫_(Subscript[S2, face2]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S2  +(∫_(Subscript[S2, face2]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S2 = 4 (∫_(Subscript[S1, face1]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S1  

Apenas  queremos saber o fluxo de campo em uma das faces logo:
(∫_(Subscript[S1, face1]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S1=(1/4)((λ*L)/ϵ)

Resolução mais complexa:
Podemos calcular explicitamente qual é o campo electrico e depois calcular o fluxo na superficie.
(∫_(Subscript[S, cilindro]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S = ((Subscript[q, interior])/ϵ)=((λ*L)/ϵ)
(OverVector[E]).(OverVector[n]) 2π RL = ((λ*L)/ϵ) ⇔ \[LeftBracketingBar](OverVector[E])\[RightBracketingBar]=(1/(2π ϵ))(λ/R)
(OverVector[E])=(1/(2π ϵ))(λ/R)(OverVector[(Subscript[e, r])])

(* Defenições *)
(*  Função para o Campo electrico em função de r*)
Electric[r_]:=(1/(2 π ϵ0))(λ/r);
(*Função para a direcção (OverVector[(Subscript[e, x])])*)
DirRx[x_,y_]:=(x/(Sqrt[x^2 + y^2]))
(*Função para a direcção (OverVector[(Subscript[e, y])])*)
DirRy[x_,y_]:=(y/(Sqrt[x^2 + y^2]))

(* vou desenhar o campo no espaço, vou escolher alguns valores apenas para poder desenhar o campo explicitamente*)
(* para a permitividade utilizei o valor do vacuo*)
ϵ0:=8.854187817620*(10^(-12))
(* usei um lado =1 e um λ=1*)
lado:=1
λ:=1

(* o vector do ampo electrico é então (OverVector[E])=( Electric[r]*DirRx[x,y] ,  Electric[r]*DirRy[x,y] ,  0)   *)
Print[Style[ "\nCampo electrico no espaço",16,Bold]]
Show[Graphics3D[{Black,Thickness[0.01],Line[{{0,0,-lado},{0,0,lado} }]}], VectorPlot3D[{Electric[(Sqrt[x^2 + y^2])]*DirRx[x,y],Electric[(Sqrt[x^2 + y^2])]*DirRy[x,y],0},{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1}, VectorScale->Automatic, VectorPoints->6, VectorColorFunction->(ColorData[22][Round[#7]]&)] ]

Agora vamos calcular o fluxo do campo electrico
(∫_(Subscript[S1, face1]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S1
O Campo electico é dado por:
(OverVector[E])=( \[LeftBracketingBar](OverVector[E])\[RightBracketingBar] . (x/(Sqrt[(x^2) + (y^2)])),  \[LeftBracketingBar](OverVector[E])\[RightBracketingBar] . (y/(Sqrt[(x^2) + (y^2)])), 0) , com (OverVector[(Subscript[e, r])])=(x/(Sqrt[x^2 + y^2]))(OverVector[(Subscript[e, x])])+(y/(Sqrt[x^2 + y^2]))(OverVector[(Subscript[e, y])])

Vamos escolher a face com x=L/2
Assim:
(OverVector[E])=( \[LeftBracketingBar](OverVector[E])\[RightBracketingBar] . ((L/2)/(Sqrt[(((L/2))^2) + (y^2)])),  \[LeftBracketingBar](OverVector[E])\[RightBracketingBar] . (y/(Sqrt[(((L/2))^2) + (y^2)])), 0) 

a normal na supercicie será:
(OverVector[n])=( 1,0 , 0), escolhemos a face com x=L, logo a normal aponta na direcção positiva de x
Assim (OverVector[E]). (OverVector[n]) =  \[LeftBracketingBar](OverVector[E])\[RightBracketingBar] . ((L/2)/(Sqrt[(((L/2))^2) + (y^2)]))
então apenas precisamos de integrar na superficie de x contante, logo integramos de -L/2 a L/2 em z e y (o cubo tem lado L e está centrado em 0 )
(∫_(-L/2)^(L/2))((∫_(-L/2)^(-L/2))\[LeftBracketingBar](OverVector[E])\[RightBracketingBar] . ((L/2)/(Sqrt[(((L/2))^2) + (y^2)]))\[DifferentialD]y)\[DifferentialD]z

(* Undefine λ e ϵ0  *)
λ=.
ϵ0=.

Print["O fluxo (∫_(Subscript[S1, face1]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S1, com (OverVector[E]).(OverVector[n]) =", Electric[(Sqrt[(L/2)^2 + y^2])]*((L/2)/(Sqrt[(((L/2))^2) + (y^2)])) ,"\ndá o resultado:"]
(∫_(-L/2)^(L/2))((∫_(-L/2)^(L/2)) Electric[(Sqrt[(L/2)^2 + y^2])]*((L/2)/(Sqrt[(((L/2))^2) + (y^2)]))\[DifferentialD]y)\[DifferentialD]z

Verificamos explicitamente que o fluxo era realmente (∫_(Subscript[S1, face1]))(OverVector[E]).(OverVector[n])\[DifferentialD]S1 = ((L λ)/(4 ϵ0))