2ª Aula Prática

Por onde começar ?

resultados numéricos

 Problema 1       Unidades Naturais

Determine os factores de conversão entre unidades naturais e unidades do sistema internacional (e vice-versa):

a) GeV - J, fm - m, barn - cm² ;

b) GeV(/c²) - kg, GeV^-1 - m, GeV^-1 - s, GeV(/c) - kgm/s ;

c) GeV^-2 - barn, GeV² - barn^-1 .

Calcule o valor da carga eléctrica do electrão (e ) e da constante de estrutura fina (alpha = e² / (4Pi)) em unidades naturais.

 Problema 2       Secção eficaz em unidades naturais e em unidades do S.I.

Calcule o valor da secção eficaz da difusão de Thomson em unidades naturais (GeV^-2) e em unidades do S.I. (barn):

 Problema 3       Relatividade restrita

Um protão muito energético interage com a radiação cósmica de fundo, produzindo um protão e um pião neutro. Calcule a energia mínima do protão para permitir esta reacção, usando para a energia do fotão o valor mais provável (temperatura da radiação cósmica de fundo T_CBR=2.725 K, massa do pião = 134.9766 MeV, massa do protão = 938.27 MeV), e

a) se o processo ocorrer com o mínimo de energia possível para produzir o protão e o pião neutro no estado final com momentos nulos (no referencial do centro de massa).

b) se o processo ocorrer através da criação de uma partícula Delta+, que posteriormente decai em protão e num pião neutro. Consultando a tabela relevante do PDG, e fazendo as aproximações que entender (justificando), determine a energia mínima desse protão.

Por onde começar ?

Problema 1

Saiba que a carga do electrão é e = 1.602 x 10^-19 C, e que 1 C x 1 V = 1 J ; que = h/(2Pi) = 1.05457168 x 10^-34 Js == 1 ; que c = 299 792 458 m/s == 1 ; e finalmente que constante dieléctrica do vácuo = epsilon_0 = 8.854x10^-12 C/(Vm) == 1.

Demonstre que 1 GeV x 1 fm = 0.197 (adimensional).

Problema 2

É só substituir os valores das constantes pelos calculados no problema anterior ( m_e = 0.000511 GeV ).

Problema 3

Por exigir que a energia mínima no ref. C.M. seja um dado valor E_m

a) igual à soma das massas do protão e do pião neutro: 938.27 + 134.9766 = E_m= 1 073.2466 MeV;

b) igual à massa invariante da partícula produzida que depois decai: E_m = 1 232 MeV;

Posteriormente, lembrar que no estado inicial e no referencial do C.M., Etot = Ep + Ef = Em, e que Ptot = Pp + Pf = 0.

Portanto concluímos que Pf = -Pp == -P, e como E²==P²+m² <=> fotão: E = |p| ; protão : Ep=[P²+m²]^1/2, podemos escrever

Ep+Ef=[P²+m²]^1/2+p =E_m <=> P²+m²=E_m²+P²-2E_m.P<=> P=(E_m² -m²)/2E_m , no referencial do C.M. .

Depois, recordamos que para passar do referencial do C.M. para o referencial do laboratório, aplica-se as transformações de Lorentz:

PL = Gamma* (P - beta*E) ; EL = Gamma* (E - beta*P),
em que Gamma e beta são o factor de expansão de Lorentz e a velocidade para o referencial do C.M. em movimento no Lab (segundo a direcção e sentido do protão).

Usando agora o conhecimento que o momento do fotão no referencial do laboratório, tomando como eixo +X o eixo do movimento do protão, é PfL=momento mais provável = h/(comprimento de onda mais provável)=[aplicando a Lei de Wien]=hT_CBR/B =(em unidades naturais, h=2Pi,B(=0.002898 m.K[SI])=1.47x10¹³ GeV ^-1K)=1.16x10^-12 GeV, vem (momentos do fotão com sinal '-' pois o fotão desloca-se no sentido de -X)

fotão: -PfL = Gamma* ( -P + beta*P) ; EfL==PfL= Gamma* (P + beta*(-P)) <=>
Gamma*(1-beta) = PfL/P=PfL.2E_m/(E_m² -m²).

protão: PpL = Gamma* (P + beta*Ep) ; EpL = Gamma* (Ep + beta*P)

Gamma*(1-beta)=Gamma*(1-[1 - 1/Gamma²]^1/2)~=1/(2Gamma) para valores de Gamma muito grandes.

Donde temos, pela equação acima para o fotão que Gamma~=(E_m² -m²)/(2.PfL.2E_m)=2.15x10¹¹(E_m²-0.93827²)/E_m e que
para o protão temos (com beta ~= 1 e EpL~=PpL)

protão: EpL ~= 2.15x10¹¹(E_m²-0.93827²)/E_m* ([P²+0.93827²]^1/2 + P)~=(por construção)=2.15x10¹¹(E_m²-0.93827²)

Resultados Numéricos

Problema 1: a) 1 GeV = 1.602 x 10^-19 J , 1 fm = 10^-15 m , 1 b(arn) = 10^-24 cm².
b) 1 Kg = 5.61x10²⁶ GeV ; 1 GeV^-1 = 0.197 x 10^-15 m ; 1 GeV^-1 = 6.579 x 10^-25 s ; 1 GeV = 5.344 x 10^-19 kg m/s.
c) 1 GeV^-2 = 3.88 x 10^-32 m^-2 = 3.88 x 10^-4 barn = 0.388 mbarn ; 1 GeV² = 2.577 x 10³¹ m^-2 = 2577 barn^-1.

Problema 2: 1709.4 GeV^-2 ; 0.663 barn.

Problema 3: a) 5.83x10¹⁰ GeV=5.83x10¹⁹ eV; b) 1.37x10¹¹ GeV = 1.37x10²⁰ eV