9� S�rie de Problemas
Mec�nica e Ondas
LEEC/LEE/LEGI
1.�� A frequ�ncia caracter�stica de
uma massa presa a uma mola � de 5 Hz.
a) Qual a acelera��o da massa quando o
deslocamento � de 0.51 m?
b) Porque factor se devia aumentar a massa para
duplicar o per�odo da oscila��o?
2.� A
Fig. representa um p�ndulo cujo ponto de suspens�o se move sem atrito sobre uma
linha recta; a massa do bloco onde o p�ndulo est� suspenso � desprez�vel em
rela��o a m e o fio � inextens�vel (m=1 kg e l=1 m).
a) Supondo que o movimento do bloco onde o
p�ndulo est� suspenso � descrito por uma fun��o b(t) conhecida, quantos graus
de liberdade tem o sistema? Escreva o lagrangeano e as equa��es do movimento.
b) Particularize para b(t)=at2/2, com
a=2 m.s-2 (ponto de suspens�o movendo-se com acelera��o constante).
Determine o ponto de equil�brio e resolva a equa��o do movimento para pequenas
oscila��es.
c) Particularize para b(t)=2 cos 3t (ponto de
suspens�o oscilando no tempo) e resolva a equa��o do movimento para pequenas
oscila��es.
d) �Particularize para b(t)=2 cos 4t e resolva a equa��o do movimento
para pequenas oscila��es. Compare este caso e o da al�nea anterior. Esboce como
varia a amplitude e o desfasamento em fun��o dos par�metros do sistema e da
frequ�ncia exterior.
3.�� Qual a contrac��o do di�metro da Terra para um
astronauta que se encontre em repouso relativamente ao Sol? (considere a Terra
como um referencial de in�rcia num pequeno intervalo de tempo). A velocidade
orbital da Terra relativa ao Sol � de 30 km/s e o raio da Terra � de 6.37 x 106
m
4. A vida m�dia
de uma part�cula � 100 ns no seu referencial pr�prio.
4.a)
Qual a dura��o da part�cula no laborat�rio, sabendo que a sua
velocidade � de 0.960c ?
4.b)Quanto mede o
percurso da part�cula no laborat�rio durante a sua exist�ncia?
4.c)
Quanto mediria o mesmo percurso se o tempo fosse igual
no laborat�rio e no referencial pr�prio da part�cula, como na F�sica Cl�ssica.
5. Uma nave espacial tem comprimento L=300 m. Imagine que o seu coman-dante est� no centro da nave enviando simultaneamente dois feixes de luz, um para cada lado oposto da nave onde actuam um mecanismo de abertura autom�tica de portas.
5.a) Calcule o instante em que a luz atinge a parede do lado esquerdo. A nave espacial relativista move-se da esquerda para a direita com velocidade v=0.8c relativamente ao espa�oporto (esta��o espacial).
5.b) Calcule, no referencial da nave, ao fim de quanto tempo abrem as portas da frente e a de tr�s, situadas nos dois extremos opostos da nave. A abertura das portas � simult�nea no ponto de vista do capit�o?
5.c) Refa�a a al�nea 5.a) no referencial do espa�oporto.
6. Um neutr�o livre tem um per�odo de semi-vida no seu referencial pr�prio de 11.0 min. (s� no n�cleo, com outros neutr�es e prot�es, � que o neutr�o � mais est�vel), desintegrando-se num electr�o, num prot�o e num neutrino (decl�nio b-). Considere um feixe de neutr�es produzido numa das muitas reac��es de fus�o nuclear que ocorrem no Sol.
6.a)
Quanto tempo
deve decorrer no referencial pr�prio dos neutr�es para que o seu n�mero se
reduza a 1% do n�mero inicial? (Lembre-se do decl�nio radioactivo)
6.b)
Suponha que
os neutr�es se deslocam a uma velocidade m�dia de 106 m/s (na
realidade a velocidade � menor) e considere que a dist�ncia Terra-Sol � de 1.49
x 1011 m. Quanto tempo demoraria um neutr�o a chegar � Terra, para
um observador na Terra?
6.c)
A partir dos
resultados de a) e de b), diga se h� perigo de os neutr�es solares atingirem a
Terra. (Lembre-se que s� pode comparar grandezas medidas no mesmo
referencial!).