FÍSICA II
L.E.Gestão I.
Professor responsável: PEDRO ABREU
Possível Resolução do 1º Exame e 2º Teste
2001/06/29, 9h00
Duração: 2h30 (Exame), 1h30 (Teste: 3,4,5)
Constantes e propriedades úteis
Superf.triângulo b a/2 Superf. círculo r2
Superf.cubo 6a2 Volume cubo a3
Superf.cilindro 2 rL+ base ( r2)+topo( r2) Volume cilindro r2 L
Superf.esfera 4 r2 Volume esfera 4/3 r3
Constante de Boltzmann kB = 1.38 x 10-23 J/K Número de Avogadro NA= 6.022 x 1023mol-1
Raio do Sol RS = 6.98 x 108 m Temperatura do Sol TS = 6000 K à superfície
Distância Sol-Júpiter 7.78 x 1011 m Raio de Júpiter 7 x 107m
Constante da Lei de Wien B = 0.00282 mK Constante de Stefan-Boltzmann = 5.67 x 10-8W m-2K-4
Combinações N elementos P a P = N!/(P!(N-P)!)
Permutações N elementos = N!

(dz/dt) + A z=B <=> z(t) = C e-At + B/A      (C a ser determinado)
d2z/dt2 + A z = B <=> z(t) = C sen( A1/2 t + D) + B/A      (C e D a serem determinados)

(4.0) 1) A Colaboração de cientistas "Super-Kamiokande", com sede na mina de Kamioka no Japão, montou um dispositivo experimental para, entre outros assuntos, procurar sinais do decaimento do protão (núcleo de hidrogénio). Num trabalho publicado recentemente (Super-Kamiokande Collaboration, Y. Hayato et al., Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 1529-1533.), procuraram a reacção p -> anti-v K+, e não observaram nenhum acontecimento.
O dispositivo consiste essencialmente em um cilindro de altura h=36.2 m, raio r=16.9 m, cheio com água pura e rodeado de detectores com uma eficiência global de 80%.

(1.0) a) Se a vida média do protão fosse a idade do Universo (=1.2 x 1010 anos), quantos protões deveriam decair por dia (no primeiro dia) ?
(Sugestão: comece por contar o número de protões que há no tanque)

R: O Número de prot&oatilde;es no tanque é dado por 10 vezes o produto de NA pelo número de moles de água, dado que uma molécula de água tem 10 prot&oatilde;es (2 x ZH + ZO). O Número de moles é dado pelo produto do volume do cilindro pela razão entre densidade da água (1000 Kg/m3) e massa molar (0.018 Kg/mol). Assim,
NP = (36.2 x (16.9)2 x 1000 / 0.018 ) x 10 = 1.087 x 1034 protões.
Ora o número de decaimentos por unidade de tempo é a taxa de decaimento, dada pela expressão
d N / d t = - N/
e para um dia, dado que N>>1 e 1 dia<<, temos
1 dia x d N/d t = 86400 dN/dt = 86400 Np / = 2.48 x 1021 decaimentos por dia

(1.0) b) Admitindo que a colaboração operou o dispositivo durante um período efectivo de um ano, e que o protão só teria esse modo de decaimento p -> anti-v K+, qual a vida média que o protão teria que ter para não se detectar na experiência mais de 3 decaimentos em um ano (limite inferior da sua vida média a 95% de nível de confiança) ?

R: Dado que num ano, Nº de decaimentos detectados é menor ou igual a 3, e que a eficiência é 80%, vem que o número de protões que pode ter decaido é  dNp <= 3/0.8 = 3.75, em um ano. Como podemos concluir da alínea anterior, um ano vai ser muito menor que a vida média do protão, tal como 3.75 é muito menor do que o número de protões no tanque. Assim podemos aproximar dNp por (dNp/dt)x dt, com dt igual a um ano:

3.75 >= 1 ano x (dNp/dt) = 1 ano x Np/  (em anos)             <=>

(anos) >= Np/3.75 (anos) >= 2.9 x 1033 anos

(2.0) c) Um macroprotão em repouso explode em dois bocados, libertanto 938 J. A massa do primeiro bocado é m1=0.001 Kg, e a do segundo bocado é m2=0.493 Kg. Quais as velocidades dos dois bocados ? Qual deles leva mais energia ?

R: Pela conservação do momento linear, podemos concluir que o momento linear inicial (igual a 0) é igual ao final (m1v1+m2v2); sabendo ainda que a soma das energias dos dois bocados é a energia libertada, temos as seguintes duas equações:

0.5 m1v12 + 0.5 m2v22 = 938    e    m1v1+m2v2 =0       <=>       v1 = -(m2/m1)v2   e    v2 = [2m1 x 938/(m22 + m1m2)]0.5 = 2.775 m/s <=>

v2 = 2.775 m/s ,  v1 = -1368.3 m/s ,  E2 = 1.9 J ,    E1 = 936.1 J >> E2

e portanto o bocado mais leve tem mais energia.

 
(4.0) 2) Um brinco em forma de barra homogénea de ouro, de massa m=400,000$00 (a 4000$00 a grama), e comprimento X=0.05 m, está fixo pela extremidade a uma orelha de um jovem estudante da L. E. Gestão I. O brinco só tem movimento no plano vertical, fazendo sempre ângulos muito pequenos com a vertical. O momento de inércia de uma barra homogénea de comprimento X em torno da extremidade é I = mX2/12.

(1.0) a) Quantos graus de liberdade tem o sistema do brinco ?

R: Tem apenas um grau de liberdade, e podemos escolher o ângulo T com a vertical como coordenada generalizada para descrever esse movimento (livre).

(1.0) b) Qual o Lagrangeano do sistema ?

R: Escolhendo o ponto de suspensão do brinco como o zero da Energia Potencial, podemos escrever a Energia potencial do brinco, como sendo  Epot = - mg(X/2) cos T (X/2 porque a Epot refere-se ao centro de massa do brinco). A energia cinética corresponde apenas à energia cinética de rotação do brinco, em torno do seu ponto de fixação; como é dado o momento de inércia em relação a esse ponto, temos que

Ec = (1/2) I (dT/dt)2 = mX2/24 (dT/dt)2              =>       L = mX2/24 (dT/dt)2 + mg(X/2) cos T

(1.0) c) Qual(is) a(s) equação(ções) do movimento do brinco ?

R: Uma só equação de movimento:

d( dL/d(dT/dt))/dt - dL/dT = 0 <=> (m X2/12) d2T/dt2 + mg(X/2) sen T = 0  <=>  d2T/dt2 + 6(g/X) sen T = 0   <=> 

d2T/dt2 + 1176sen T = 0

(1.0) d) Para pequenas oscilações, qual a frequência do movimento do brinco na sala de aula (na Terra), e no seu ambiente natural (na Lua, com gravidade igual a 1/6 da da Terra) ?

R: Para pequenas oscilações, sen T ~= T <=>  d2T/dt2 + 6(g/X) T = 0 <=> 

fT = (1/2 ) [6gT/X]0.5 = 5.45 Hz  (na sala de aula na Terra)   e        fT = (1/2 ) [6gL/X]0.5 = 2.23 Hz      (na Lua).

 
(4.0/6.0) 3) No sistema da figura, está representado no plano (P,V) um diagrama de funcionamento de um máquina térmica, onde circulam 40.6 moles de um gás monoatómico. A partir do ponto em que a temperatura é mais baixa e igual à temperatura da fonte fria, o gás é aquecido até à pressão máxima de 202600 Pa mantendo constante o seu volume inicial de 1 m3, depois sofre uma transformação até à pressão mínima de 101300 Pa e volume máximo de 2 m3 (em que a relação entre pressão e volume é linear), e finalmente é arrefecido a pressão constante até à pressão e volume iniciais. Considere a temperatura da fonte quente constante e igual a TQ=900 K.
(1.0/1.5) a) Qual o trabalho realizado pelo gás em cada ciclo ?

R: O trabalho realizado no ciclo (útil ou total) é simplesmente a área dentro do ciclo, neste caso a área do triângulo :  W=(202600-101300)x(2-1)/2   ou

W = 50 650 J.

(1.0/1.5) b) Qual o rendimento deste ciclo ?

R: O rendimento (aqui representado pela letra 'h'), é dado pela razão entre trabalho W e calor cedido pela fonte quente, QQ:   h = W/Q .

Em vez de calcularmos QQ , vamos calcular QF   e obter QQ   a partir do primeiro princípio: QQ = W + QF   .  Isto porque QF é bastante mais simples de calcular: é o calor cedido pelo gás, apenas na compressão 2->1 a pressão constante, pois é praticamente a única altura em que o gás perde calor. De facto quando o gás aumenta a pressão a volume constante tem de estar a receber calor, e quando o gás expande, segundo aquela recta decrescente, até metade, está a subir a temperatura, até à temperatura máxima exactamente a meio de

TMAX = PV/nR = (151950x1.5)/(40.6x8.3145)=675.2 K  

e na metade de baixo, está a baixar a temperatura, mas ainda está a receber calor (o decréscimo da curva P=Cte/V(5/3) é mais acentuado do que o desta recta, em quase todos os pontos até ao volume máximo).

Ora na compressão a pressão constante o calor cedido pelo gás é dado por Q=nCp(Tf - Ti) <=> QF = nCp(Ti - Tf) = (nCp/nR) (PiVi-PfVf)=(Cp/R)Pi(Vi-Vf).

Note-se agora que, como o gás é monoatómico, então é ideal,  Cv = (3/2)R ,  e    Cp=Cv+R=(5/2)R. Assim,

QF = (5/2)  x 101300 x (2 - 1) = 253250 J,   e

QQ = 50650 + 253250 = 303900 <=>  h = 50650/303900 = 1/6 ~= 16.7%.

    

(1.0/1.5) c) Qual o rendimento máximo que uma máquina poderia ter usando as mesmas fontes (fria e quente) ?

R: No momento do exame, não era indicado, a não ser na próxima alínea, a temperatura da fonte quente. Mas aqui já se calculou a temperatura máxima atingida pelo gás, 675.2 K. Portanto tem-se duas possibilidades: assumir que a fonte quente tem a temperatura constante TQ = 675.2 K, ou que, conforme se indica neste enunciado, TQ = 900 K. Em qualquer dos casos, o que importa é obter o rendimento máximo a partir da expressão (válida apenas para as máquinas de rendimento máximo)

h = 1 - QF / QQ = 1 - TF / TQ = 55.6% ou 66.7% respectivamente.

(1.0/1.5) d) Qual a variação de entropia do Universo em cada ciclo ? Este ciclo é reversível ? Justifique.

R: Como já se calculou as quantidades necessárias, a variação da entropia do Universo ao fim de um ciclo é dada por

SU = - QQ / TQ  + QF / TF = -303900/900 + 253250/300 = 506.34 J/K,

e o ciclo não é reversível pois a variação de entropia do Universo é maior do que 0.

 
(4.0/7.0) 4) Vinte alunos estão numa sala com 20 cadeiras, a realizar um exame. Admita que em cada cadeira só se pode sentar um aluno de cada vez, e que a massa de cada aluno é m=75 Kg.

(1.5/2.5) a) Qual o número de microestados (possíveis) deste sistema ? Qual o número de macroestados possíveis deste sistema ?

R: O Número de microestados corresponde ao número possível de diferentes maneiras de distribuir os alunos pela sala, sabendo que eu os posso distinguir uns dos outros (por ex, sei os nomes de todos). Assim, e dado que em qualquer configuração, as cadeiras estão sempre todas ocupadas, o número de configurações possíveis é simplesmente dado pelo número de permutações dos 20 alunos:

Número de microestados = 20! = 2.433 x 1018

Quanto ao número de macroestados, corresponde ao número de configurações diferentes, mas em que não distingo os alunos uns dos outros. Assim só há uma maneira de sentar quaisquer 20 alunos numa sala com 20 cadeiras: é sentar um em cada cadeira. Em particular, se trocar dois alunos, embora mude o microestado, não muda o macroestado. Assim,

Número de macroestados = 1

(0.5/1.0) b) Qual o número de microestados numa nova sala com 40 cadeiras ?

R: Agora com 40 cadeiras, temos mais combinações possíveis de distribuir 20 alunos por 20 dessas 40 cadeiras, cujo número total é dado pelo  número de combinações de 40 elementos tomados 20 a 20: 40!/(20! x (40-20)!). Mas como distinguimos os alunos, ainda podemos, para cada combinação particular, permutar todos os alunos, isto é, multiplicar pelo número de permutações::

Número de microestados: 20! x 40!/(20! x (40-20)!)  = 40!/20! = 3.35 x 1029

(1.0/2.0) c) Qual a variação de entropia quando mudamos os alunos de sala ?

R: A entropia, no conceito de Boltzmann, é dada por       S=kB ln   , em que   é simplesmente o número de microestados. Assim, a variação de entropia, quando passamos os alunos da sala com 20 cadeiras para a sala com 40 cadeiras, é dada por:

S = kB ln 40 - kB ln 20 = kB ln (40 / 20) = kB ln (40! / 20! / 20!) = 25.65 kB = 3.54 x 10-22 J/K

(1.0/1.5) d) Se a velocidade quadrática média, devido ao movimento natural dos estudantes em equilíbrio térmico (como sempre, muito agitados), for vqm = 10-10m/s, qual a temperatura 'da sala' ?

R: vqm = (3kB T/m)0.5 = 10-10 m/s    <=>   T = 18116 K.

 
(4.0/7.0) 5) Considerando o Sol e Jupíter como corpos negros em equilíbrio térmico, e tendo em conta que a temperatura à superfície do Sol é de 6000 K, determine

(1.0/1.5) a) a potência radiada pelo Sol;

R: Como Sol e Júpiter são corpos negros, a emissividade é um. Assim, PSOL = A x TS4 = 4RS2   (6000 K)4 = 4.5 x 1026 W .

(1.0/2.0) b) a potência por unidade de área na órbita de Júpiter;

R: Potência/Área na órbita de Júpiter corresponde à potência emitida pelo Sol em todas as direcções, dividida pela área de uma superfície esférica   centrada no Sol e com raio igual à distância entre o Sol e Júpiter:

P/A = PSOL /(4dSJ2) = 59.15 W/m2 .

(1.0/2.0) c) a potência recebida (e emitida) por Júpiter;

R: Potência recebida por Júpiter é dada pelo produto entre a potência do Sol por unidade de área e a área exposta de Júpiter. Ora, a área exposta de Júpiter, é simplesmente a área de UM CÍRCULO com raio igual ao raio de Júpiter (pensando num eclipse, a área da Lua que nos tapa o Sol também é simplesmente a área de um círculo). A Potência emitida por Júpiter é igual à potência recebida assumindo que Júpiter está em equilíbrio térmico. Assim:

PJ = (P/A) x AeJ = (P/A) x RJ2 = 9.1 x 107 W .

(1.0/1.5) d) a temperatura esperada à superfície de Júpiter.

R: A temperatura de Júpiter está directamente relacionada com a potência emitida por Júpiter. Mas Júpiter emite esta energia em todas as direcções, e portanto a área de emissão é a área da superfície (esférica) de Júpiter. Assim,

TJ = (PJ/(4RJ2  ))(1/4) = 127.1 K .

Se quiser, pode consultar as notas deste exame/teste.