FÍSICA III/LEGI

FÍSICA III
L.E.Gestão I.
Professor responsável: PEDRO ABREU
2º Exame e 2º Teste
2002/02/07, 9h00
Duração: 2h30 (Exame) ou 1h30 (Teste: só 3, 4 e 5)

Constantes e propriedades úteis
Superf.triângulo	b x a/2	Superf.círculo	r²
Superf.cubo	6a²	Volume cubo	a³
Superf.cilindro	2 rL+ base ( r²)+topo( r²)	Volume cilindro	r2 L
Superf.esfera	4 r²	Volume esfera	4/3 r³
₀	8.85 x 10^-12 Fm^-1	₀	4 x 10^-7NA^-2
c	299792458 m/s	Velocidade do som no ar (P.T.N.)	344 m/s
Constante de Planck	6.626 x 10^-34 Js	Massa do electrão	9.1 x 10^-31 Kg
Carga do electrão	1.6 x 10^-19 C	1 eV	1.609 x 10^-19 J
1 eV/c²	1.783 x 10^-36 Kg	Massa do protão	m_p=0.938272 GeV/c²
Massa do neutrão	m_n=0.939565 GeV/c²	Massa do pião	m=0.13957 GeV/c²

(4.0) 1) Uma esfera uniformemente carregada em volume, de raio R=1 m, provoca um campo eléctrico à superfície de E=10 V/m, orientado para o centro da esfera. Considere a esfera preenchida por um meio com constante dieléctrica =5₀.

(1.0) a) Qual o campo eléctrico em função da distância r ao centro da esfera?
(1.0) b) Qual o valor do potencial eléctrico em função da distância r ao centro da esfera (admita que infinitamente longe o potencial eléctrico é nulo)?
(1.0) c) Qual o valor da carga total da esfera?
(1.0) d) Qual a capacidade do sistema esfera-infinito?

(4.0) 2) A figura A mostra um toro de ferro homogéneo com permeabilidade magnética =50000₀, envolvido por 1000 voltas de um fio condutor, onde passa uma corrente estacionária I=5 A. O toro tem raio R=2 m e uma secção circular com raio r=0.1 m (seja este r=r_s).

(1.5) a) Num plano perpendicular à secção do toro e passando pelo centro do toro, calcule o valor do campo de indução magnético B, em função da distância r ao centro do toro.
(1.0) b) Suponha que esse toro estava inserido num circuito, como o representado na figura A. Sabendo que a bateria fornece uma força electromotriz de =100 V, qual a resistência do fio que enrola o toro ?
(1.5) c) Uma espira circular plana, com resistência R=10 e raio R´=2 m, passa pelo centro do toro envolvendo a secção do toro (figura B). Se a corrente no fio que envolve o toro for alterna, I=5 sen 10t, calcule em primeira aproximação o valor da corrente induzida na espira (despreze o campo de indução magnética fora do toro).

(4.0/7.0) 3) Um estudante da L. E. Gestão I. está fazendo testes com uma corda esticada com 1.5 m de comprimento e pesando 0.3 Kg, pendurada no tecto da sala (preparando-se para futuras OPA's, fusões e cobranças difíceis). Constata que a maior 'massa' que pode pendurar na corda é de 100 Kg.
Nota:Excluindo S.H., Dr. W. e o estudante, quaisquer semelhanças entre os nomes e pessoas reais neste problema é pura coincidência.

(1.0/2.0) a) Qual a velocidade máxima com que uma vibração na corda se pode nela propagar?
(se não calculou esta alínea use v_max=137.6 m/s)

O Detective Sherlock Holmes e o seu ajudante Dr. Watson foram chamados para investigar o caso em que, na mesma sala totalmente vazia e hermeticamente fechada por dentro, apareceu além de uma poça de água o conhecido empresário Estêvão Empregos [nome profissional], pesando 980 N, suspenso a 0.5 do chão pela corda referida em cima (são públicas as suas divergências em relação aos termos de um contrato de associação com um tal de Guilherme Portões, conhecido membro do crime organizado).
(1.0/2.0) b) Suponha que quando o Detective chega ao local, encontra um estudante de L. E. Gestão I. que clama não ter tocado em nada e ter ouvido um som grave com comprimento de onda _ar=30 m (alegadamente devido à vibração na corda de uma onda estacionária). Logo o Dr. Watson comentou que o estudante não podia estar a falar verdade (e também como é que a vítima lá teria ido parar sozinha?)! Porque é que o Dr. Watson achou que o jovem não podia ter ouvido ondas sonoras com o comprimento de onda referido ?
(2.0/3.0) c) '- Ah, mas o jovem vinha a fugir do local! Ele está inocente!' - disse logo o Detective. Admitindo que desta vez o jovem está inocente, qual a velocidade mínima que ele teria de ter ao fugir do local ?
(se não concluiu a alínea anterior, admita que a corda emitia uma onda sonora com frequência f=70 Hz e calcule a velocidade do estudante)
(0.0/0.0) d) Já agora como explicaria o Detective a forma como a vítima lá foi parar?

(4.0/6.0) 4) Os raios cósmicos são partículas que chegam ao nosso planeta, e que podem interagir com a atmosfera terrestre. A maioria dos que interagem são protões energéticos, podendo ter origem no espaço exterior ao sistema solar. Para energias do protão muito elevadas, o modelo padrão das partículas elementares prevê que o protão interaja com os fotões da radiação cósmica de fundo, com probabilidade muito elevada quando a massa invariante do sistema protão-fotão tiver um valor aproximado a mc² =1.232 GeV. O choque 'frontal' do protão com o fotão, destruindo ambos, cria uma partícula ⁺ que depois se aniquila em neutrão e pião positivo.
se precisar saiba que a solução de
a = (b+x²) ^1/2 + (d+x²) ^1/2
é x = (a⁴-2a²(b+d)+(b-d)²) ^1/2 /2a

(0.5/1.0) a) Qual o momento e energia do fotão, se tiver um comprimento de onda =1.0634 x 10^-3 m?
(1.0/1.5) b) No referencial do laboratório, qual a energia mínima de um protão nesta reacção (note que (A² + b) ^1/2 + A ~= 2A quando b<<A)?
(1.0/1.5) c) Se uma partícula ⁺ com velocidade v=0.999c decair num neutrão e num pião positivo, qual a energia e momento do pião positivo no seu referencial (da partícula ⁺)? Qual a velocidade do pião no referencial do laboratório (sendo esta paralela a e no mesmo sentido que a velocidade da partícula ; se não calculou P use P =0.186 GeV/c)?
(1.5/2.0) d) Sabendo que um pião positivo tem uma vida média de 26 ns (no seu referencial próprio), qual o espaço percorrido no referencial do laboratório (nas condições da alínea anterior)?

(4.0/7.0) 5) Um estudante da L. E. Gestão I. com m=90 Kg caíu num poço circular de diâmetro a, muito profundo, ficando muito nervoso, com velocidade mais provável v~=10^-11 m/s (correspondente aos seus 315 K).
(1.5/2.0) a) Se pudéssemos considerar o estudante como pontual, qual a largura mínima do poço que permitiria essa velocidade de agitação?
(Sugestão: comece por calcular o comprimento de onda do estudante com a velocidade referida)
(1.0/2.0) b) Tendo o estudante diâmetro d=0.5 m (na cintura, aproximadamente circular), e admitindo que a largura do poço é o dobro do estudante (que já basta ter caído no poço e ter que fazer este exame/teste), qual o nível n de energia em que ele se encontra ?
(1.5/3.0) c) Qual a energia do nível calculado na alínea anterior (se não o calculou, use n=2.72 x 10²⁴)? Poder-se-à falar neste caso de quantificação da energia (justifique sumariamente)?

(4.0) 1)	Uma esfera uniformemente carregada em volume, de raio R=1 m, provoca um campo eléctrico à superfície de E=10 V/m, orientado para o centro da esfera. Considere a esfera preenchida por um meio com constante dieléctrica =5₀. (1.0) a) Qual o campo eléctrico em função da distância r ao centro da esfera? (1.0) b) Qual o valor do potencial eléctrico em função da distância r ao centro da esfera (admita que infinitamente longe o potencial eléctrico é nulo)? (1.0) c) Qual o valor da carga total da esfera? (1.0) d) Qual a capacidade do sistema esfera-infinito?
(4.0) 2)	A figura A mostra um toro de ferro homogéneo com permeabilidade magnética =50000₀, envolvido por 1000 voltas de um fio condutor, onde passa uma corrente estacionária I=5 A. O toro tem raio R=2 m e uma secção circular com raio r=0.1 m (seja este r=r_s). (1.5) a) Num plano perpendicular à secção do toro e passando pelo centro do toro, calcule o valor do campo de indução magnético B, em função da distância r ao centro do toro. (1.0) b) Suponha que esse toro estava inserido num circuito, como o representado na figura A. Sabendo que a bateria fornece uma força electromotriz de =100 V, qual a resistência do fio que enrola o toro ? (1.5) c) Uma espira circular plana, com resistência R=10 e raio R´=2 m, passa pelo centro do toro envolvendo a secção do toro (figura B). Se a corrente no fio que envolve o toro for alterna, I=5 sen 10t, calcule em primeira aproximação o valor da corrente induzida na espira (despreze o campo de indução magnética fora do toro).
(4.0/7.0) 3)	Um estudante da L. E. Gestão I. está fazendo testes com uma corda esticada com 1.5 m de comprimento e pesando 0.3 Kg, pendurada no tecto da sala (preparando-se para futuras OPA's, fusões e cobranças difíceis). Constata que a maior 'massa' que pode pendurar na corda é de 100 Kg. Nota:Excluindo S.H., Dr. W. e o estudante, quaisquer semelhanças entre os nomes e pessoas reais neste problema é pura coincidência. (1.0/2.0) a) Qual a velocidade máxima com que uma vibração na corda se pode nela propagar? (se não calculou esta alínea use v_max=137.6 m/s) O Detective Sherlock Holmes e o seu ajudante Dr. Watson foram chamados para investigar o caso em que, na mesma sala totalmente vazia e hermeticamente fechada por dentro, apareceu além de uma poça de água o conhecido empresário Estêvão Empregos [nome profissional], pesando 980 N, suspenso a 0.5 do chão pela corda referida em cima (são públicas as suas divergências em relação aos termos de um contrato de associação com um tal de Guilherme Portões, conhecido membro do crime organizado). (1.0/2.0) b) Suponha que quando o Detective chega ao local, encontra um estudante de L. E. Gestão I. que clama não ter tocado em nada e ter ouvido um som grave com comprimento de onda _ar=30 m (alegadamente devido à vibração na corda de uma onda estacionária). Logo o Dr. Watson comentou que o estudante não podia estar a falar verdade (e também como é que a vítima lá teria ido parar sozinha?)! Porque é que o Dr. Watson achou que o jovem não podia ter ouvido ondas sonoras com o comprimento de onda referido ? (2.0/3.0) c) '- Ah, mas o jovem vinha a fugir do local! Ele está inocente!' - disse logo o Detective. Admitindo que desta vez o jovem está inocente, qual a velocidade mínima que ele teria de ter ao fugir do local ? (se não concluiu a alínea anterior, admita que a corda emitia uma onda sonora com frequência f=70 Hz e calcule a velocidade do estudante) (0.0/0.0) d) Já agora como explicaria o Detective a forma como a vítima lá foi parar?
(4.0/6.0) 4)	Os raios cósmicos são partículas que chegam ao nosso planeta, e que podem interagir com a atmosfera terrestre. A maioria dos que interagem são protões energéticos, podendo ter origem no espaço exterior ao sistema solar. Para energias do protão muito elevadas, o modelo padrão das partículas elementares prevê que o protão interaja com os fotões da radiação cósmica de fundo, com probabilidade muito elevada quando a massa invariante do sistema protão-fotão tiver um valor aproximado a mc² =1.232 GeV. O choque 'frontal' do protão com o fotão, destruindo ambos, cria uma partícula ⁺ que depois se aniquila em neutrão e pião positivo. se precisar saiba que a solução de a = (b+x²) ^1/2 + (d+x²) ^1/2 é x = (a⁴-2a²(b+d)+(b-d)²) ^1/2 /2a (0.5/1.0) a) Qual o momento e energia do fotão, se tiver um comprimento de onda =1.0634 x 10^-3 m? (1.0/1.5) b) No referencial do laboratório, qual a energia mínima de um protão nesta reacção (note que (A² + b) ^1/2 + A ~= 2A quando b<<A)? (1.0/1.5) c) Se uma partícula ⁺ com velocidade v=0.999c decair num neutrão e num pião positivo, qual a energia e momento do pião positivo no seu referencial (da partícula ⁺)? Qual a velocidade do pião no referencial do laboratório (sendo esta paralela a e no mesmo sentido que a velocidade da partícula ; se não calculou P use P =0.186 GeV/c)? (1.5/2.0) d) Sabendo que um pião positivo tem uma vida média de 26 ns (no seu referencial próprio), qual o espaço percorrido no referencial do laboratório (nas condições da alínea anterior)?
(4.0/7.0) 5)	Um estudante da L. E. Gestão I. com m=90 Kg caíu num poço circular de diâmetro a, muito profundo, ficando muito nervoso, com velocidade mais provável v~=10^-11 m/s (correspondente aos seus 315 K). (1.5/2.0) a) Se pudéssemos considerar o estudante como pontual, qual a largura mínima do poço que permitiria essa velocidade de agitação? (Sugestão: comece por calcular o comprimento de onda do estudante com a velocidade referida) (1.0/2.0) b) Tendo o estudante diâmetro d=0.5 m (na cintura, aproximadamente circular), e admitindo que a largura do poço é o dobro do estudante (que já basta ter caído no poço e ter que fazer este exame/teste), qual o nível n de energia em que ele se encontra ? (1.5/3.0) c) Qual a energia do nível calculado na alínea anterior (se não o calculou, use n=2.72 x 10²⁴)? Poder-se-à falar neste caso de quantificação da energia (justifique sumariamente)?